Résoudre 4a^2-5a+2=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+2 = 0$$

Calculer a

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}\approx 0,625+0,330718914i$$

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}\approx 0,625-0,330718914i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -5 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 2.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2\times 4}$$

Additionner 25 et -32.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de -7.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8} lorsque ± est positif. Additionner 5 et i\sqrt{7}.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{7} à 5.

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$4a^{2}-5a+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$4a^{2}-5a=-2$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{2}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{2}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{2}$$

Divisez -\frac{5}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{64}$$

Additionner -\frac{1}{2} et \frac{25}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{7}{64}$$

Factor a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

Simplifier.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

Ajouter \frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$