Résoudre 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes de la solution

Soustraire -4 des deux côtés de l’équation.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}+6} à la puissance 2 et obtenir x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Combiner 9x^{2} et -x^{2} pour obtenir 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Soustraire 6 des deux côtés.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Soustraire 6 de 16 pour obtenir 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx+5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 12.

$$a=2 b=10$$

Réécrire 4x^{2}+12x+5 en tant qu’\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x+1=0 et 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Remplacez x par -\frac{1}{2} dans l’équation 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Simplifier. La valeur x=-\frac{1}{2} satisfait à l’équation.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Remplacez x par -\frac{5}{2} dans l’équation 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Simplifier. La valeur x=-\frac{5}{2} ne satisfait pas l’équation.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

L’équation 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} a une solution unique.

$$x=-\frac{1}{2}$$