Résoudre 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 31 à a, -3 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Calculer le carré de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Multiplier -4 par 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Additionner 9 et -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Extraire la racine carrée de -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

L’inverse de -3 est 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Multiplier 2 par 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} lorsque ± est positif. Additionner 3 et i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{115} à 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Divisez les deux côtés par 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

La division par 31 annule la multiplication par 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Divisez -\frac{3}{31}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{62}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{62} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{62} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Additionner -\frac{1}{31} et \frac{9}{3844} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Ajouter \frac{3}{62} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$