Résoudre 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Factoriser

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3z^{2}+az+bz-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 14.

$$a=-1 b=15$$

Réécrire 3z^{2}+14z-5 en tant qu’\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Factorisez z du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3z-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 14.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Additionner 196 et 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-14±16}{6} lorsque ± est positif. Additionner -14 et 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-14±16}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Diviser -30 par 6.

$$z=-5$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{1}{3} par x_{1} et -5 par x_{2}.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Soustraire \frac{1}{3} de z en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 3 et 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Évaluer

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$