Résoudre 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Calculer y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3y^{2}+ay+by-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-4 b=3$$

Réécrire 3y^{2}-y-4 en tant qu’\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Factoriser y dans 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Factoriser le facteur commun 3y-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3y-4=0 et y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -1 à b et -4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Additionner 1 et 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{1±7}{6} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Réduire la fraction \frac{8}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{1±7}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Diviser -6 par 6.

$$y=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

La soustraction de -4 de lui-même donne 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Soustraire -4 à 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Divisez -\frac{1}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Additionner \frac{4}{3} et \frac{1}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Factor y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Ajouter \frac{1}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$