Résoudre 3y^2-10y+8=0

$$3 y ^ { 2 } - 10 y + 8 = 0$$

Calculer y

$$y=2$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3y^{2}+ay+by+8. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-10 ab=3\times 8=24$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

La solution est la paire qui donne la somme -10.

$$a=-6 b=-4$$

Réécrire 3y^{2}-10y+8 en tant qu’\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Factorisez 3y du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$3y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Factoriser le facteur commun y-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-2\right)\left(3y-4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-2=0 et 3y-4=0.

$$y=2 y=\frac{4}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3y^{2}-10y+8=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -10 à b et 8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -10.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 8.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96}}{2\times 3}$$

Additionner 100 et -96.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±2}{2\times 3}$$

L’inverse de -10 est 10.

$$y=\frac{10±2}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$y=\frac{10±2}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{10±2}{6} lorsque ± est positif. Additionner 10 et 2.

$$y=\frac{12}{6}$$

Diviser 12 par 6.

$$y=2$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{10±2}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à 10.

$$y=\frac{8}{6}$$

Réduire la fraction \frac{8}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=2 y=\frac{4}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-10y+8=0$$

Soustraire 8 des deux côtés de l’équation.

$$3y^{2}-10y+8-8=-8$$

La soustraction de 8 de lui-même donne 0.

$$3y^{2}-10y=-8$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3y^{2}-10y}{3}=-\frac{8}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Divisez -\frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Additionner -\frac{8}{3} et \frac{25}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor y^{2}-\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} y-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ajouter \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$y=2 y=\frac{4}{3}$$