Résoudre 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Calculer y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 1 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Additionner 1 et 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} lorsque ± est positif. Additionner -1 et \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{85} à -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Ajouter 7 aux deux côtés de l’équation.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

La soustraction de -7 de lui-même donne 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Soustraire -7 à 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Divisez \frac{1}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Additionner \frac{7}{3} et \frac{1}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Simplifier.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Soustraire \frac{1}{6} des deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$