Résoudre 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Calculer x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$3x-5y=4$$

Ajouter 5y aux deux côtés de l’équation.

$$3x=5y+4$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multiplier \frac{1}{3} par 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substituer \frac{5y+4}{3} par x dans l’autre équation, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Multiplier 9 par \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Additionner 15y et -2y.

$$13y+12=7$$

Soustraire 12 des deux côtés de l’équation.

$$13y=-5$$

Divisez les deux côtés par 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substituer -\frac{5}{13} à y dans x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplier \frac{5}{3} par -\frac{5}{13} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Additionner \frac{4}{3} et -\frac{25}{39} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{9}{13}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Pour rendre 3x et 9x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 9 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Simplifier.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Soustraire 27x-6y=21 de 27x-45y=36 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Additionner 27x et -27x. Les termes 27x et -27x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-45y+6y=36-21$$

Additionner -45y et 6y.

$$-39y=36-21$$

Additionner 36 et -21.

$$-39y=15$$

Divisez les deux côtés par -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substituer -\frac{5}{13} à y dans 9x-2y=7. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Multiplier -2 par -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Soustraire \frac{10}{13} des deux côtés de l’équation.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$