Résoudre 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -8 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Additionner 64 et 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Diviser 8+2\sqrt{19} par 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{19} à 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Diviser 8-2\sqrt{19} par 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divisez -\frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Additionner \frac{1}{3} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Ajouter \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$