Résoudre 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Calculer x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+84. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

La solution est la paire qui donne la somme -32.

$$a=-18 b=-14$$

Réécrire 3x^{2}-32x+84 en tant qu’\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Factorisez 3x du premier et -14 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-6=0 et 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -32 à b et 84 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Additionner 1024 et -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

L’inverse de -32 est 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{32±4}{6} lorsque ± est positif. Additionner 32 et 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Diviser 36 par 6.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{32±4}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 4 à 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Réduire la fraction \frac{28}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Soustraire 84 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

La soustraction de 84 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Diviser -84 par 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Divisez -\frac{32}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{16}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{16}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{16}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Additionner -28 et \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Ajouter \frac{16}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$