Résoudre 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Calculer x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -2.

$$a=-8 b=6$$

Réécrire 3x^{2}-2x-16 en tant qu’\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Factorisez x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-8=0 et x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -2 à b et -16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Additionner 4 et 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±14}{6} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Réduire la fraction \frac{16}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±14}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Diviser -12 par 6.

$$x=-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Ajouter 16 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

La soustraction de -16 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Soustraire -16 à 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Divisez -\frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Additionner \frac{16}{3} et \frac{1}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ajouter \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$