Résoudre 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -2 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Additionner 4 et -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Diviser 2+2i\sqrt{11} par 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{11} à 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Diviser 2-2i\sqrt{11} par 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Divisez -\frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Additionner -\frac{4}{3} et \frac{1}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Ajouter \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$