Résoudre 3x^2+x+7=0

$$3 x ^ { 2 } + x + 7 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}\approx -0,166666667+1,518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}\approx -0,166666667-1,518405597i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 1 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-84}}{2\times 3}$$

Additionner 1 et -84.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -83.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner -1 et i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{83} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x+7=0$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+x+7-7=-7$$

La soustraction de 7 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+x=-7$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=-\frac{7}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divisez \frac{1}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Additionner -\frac{7}{3} et \frac{1}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{83}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Soustraire \frac{1}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$