Résoudre 3x^2+3x+7=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 7 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,443375673i$$

$$x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,443375673i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+3x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 3 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-84}}{2\times 3}$$

Additionner 9 et -84.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-75}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -75.

$$x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 5i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-3+5\sqrt{3}i}{6}$$

Diviser -3+5i\sqrt{3} par 6.

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 5i\sqrt{3} à -3.

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-3}{6}$$

Diviser -3-5i\sqrt{3} par 6.

$$x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+7=0$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+3x+7-7=-7$$

La soustraction de 7 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+3x=-7$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{7}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Diviser 3 par 3.

$$x^{2}+x=-\frac{7}{3}$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

Additionner -\frac{7}{3} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{25}{12}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{12}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{25}{12}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$