Résoudre 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 2 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Additionner 4 et -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner -2 et 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Diviser -2+2i\sqrt{2} par 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{2} à -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Diviser -2-2i\sqrt{2} par 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divisez \frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Additionner -\frac{1}{3} et \frac{1}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Soustraire \frac{1}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$