Résoudre 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Calculer x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

La solution est la paire qui donne la somme 16.

$$a=-2 b=18$$

Réécrire 3x^{2}+16x-12 en tant qu’\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Factorisez x du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-2=0 et x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 16 à b et -12 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Additionner 256 et 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-16±20}{6} lorsque ± est positif. Additionner -16 et 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Réduire la fraction \frac{4}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-16±20}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 20 à -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Diviser -36 par 6.

$$x=-6$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Ajouter 12 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

La soustraction de -12 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Soustraire -12 à 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Diviser 12 par 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Divisez \frac{16}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{8}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{8}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{8}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Additionner 4 et \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Soustraire \frac{8}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$