Résoudre 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Calculer x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire 6y des deux côtés.

$$3x+9-6y=0$$

Soustraire 9 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$3x-6y=-9$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter 12 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$-2x-2y=12$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Choisissez une des équations et résolvez-la x en isolant x à gauche du signe égal.

$$3x-6y=-9$$

Ajouter 6y aux deux côtés de l’équation.

$$3x=6y-9$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multiplier \frac{1}{3} par 6y-9.

$$x=2y-3$$

Substituer 2y-3 par x dans l’autre équation, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multiplier -2 par 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Additionner -4y et -2y.

$$-6y+6=12$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$-6y=6$$

Divisez les deux côtés par -6.

$$y=-1$$

Substituer -1 à y dans x=2y-3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=-2-3$$

Additionner -3 et -2.

$$x=-5$$

Le système est désormais résolu.

$$x=-5,y=-1$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire 6y des deux côtés.

$$3x+9-6y=0$$

Soustraire 9 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$3x-6y=-9$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter 12 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$-2x-2y=12$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=-5,y=-1$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire 6y des deux côtés.

$$3x+9-6y=0$$

Soustraire 9 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$3x-6y=-9$$

Examinez la deuxième équation. Ajouter 12 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$-2x-2y=12$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Pour rendre 3x et -2x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par -2 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplifier.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Soustraire -6x-6y=36 de -6x+12y=18 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Additionner -6x et 6x. Les termes -6x et6x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$12y+6y=18-36$$

Additionner 12y et 6y.

$$18y=18-36$$

Additionner 18 et -36.

$$18y=-18$$

Divisez les deux côtés par 18.

$$y=-1$$

Substituer -1 à y dans -2x-2y=12. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multiplier -2 par -1.

$$-2x+2=12$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$-2x=10$$

Divisez les deux côtés par -2.

$$x=-5$$

Le système est désormais résolu.

$$x=-5,y=-1$$