Résoudre 3v^2+5v-8=0

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

Calculer v

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$v=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3v^{2}+av+bv-8. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=-3 b=8$$

Réécrire 3v^{2}+5v-8 en tant qu’\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right).

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

Factorisez 3v du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

Factoriser le facteur commun v-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez v-1=0 et 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 5 à b et -8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 5.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et 96.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation v=\frac{-5±11}{6} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 11.

$$v=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$v=1$$

Résolvez maintenant l’équation v=\frac{-5±11}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -5.

$$v=-\frac{16}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$v=-\frac{8}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Ajouter 8 aux deux côtés de l’équation.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

La soustraction de -8 de lui-même donne 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

Soustraire -8 à 0.

$$3v^{2}+5v=8$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

Divisez \frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

Additionner \frac{8}{3} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

Factor v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Simplifier.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

Soustraire \frac{5}{6} des deux côtés de l’équation.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$