Résoudre 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Factoriser

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3t^{2}+at+bt-32. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

La solution est la paire qui donne la somme 20.

$$a=-4 b=24$$

Réécrire 3t^{2}+20t-32 en tant qu’\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Factorisez t du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3t-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 20.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Additionner 400 et 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-20±28}{6} lorsque ± est positif. Additionner -20 et 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Réduire la fraction \frac{8}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-20±28}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 28 à -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Diviser -48 par 6.

$$t=-8$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{4}{3} par x_{1} et -8 par x_{2}.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Soustraire \frac{4}{3} de t en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 3 et 3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Évaluer

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$