Résoudre 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Calculer q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3q^{2}+aq+bq+16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

La solution est la paire qui donne la somme -19.

$$a=-16 b=-3$$

Réécrire 3q^{2}-19q+16 en tant qu’\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Factorisez q du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Factoriser le facteur commun 3q-16 en utilisant la distributivité.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3q-16=0 et q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -19 à b et 16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Additionner 361 et -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

L’inverse de -19 est 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation q=\frac{19±13}{6} lorsque ± est positif. Additionner 19 et 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Réduire la fraction \frac{32}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation q=\frac{19±13}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$q=1$$

L’équation est désormais résolue.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

DiVisez -\frac{19}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir -\frac{19}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{19}{6} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{19}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Additionner -\frac{16}{3} et \frac{361}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Factoriser q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifier.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Ajouter \frac{19}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$