Résoudre 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Calculer p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3p^{2}+ap+bp+5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-5 b=-3$$

Réécrire 3p^{2}-8p+5 en tant qu’\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Factorisez p du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 3p-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3p-5=0 et p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -8 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Additionner 64 et -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{8±2}{6} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Réduire la fraction \frac{10}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{8±2}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$p=1$$

L’équation est désormais résolue.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Divisez -\frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Additionner -\frac{5}{3} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifier.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ajouter \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$