Résoudre 3n^2-7n+14=0

$$3 n ^ { 2 } - 7 n + 14 = 0$$

Calculer n

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6}\approx 1,166666667+1,818118686i$$

$$n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}\approx 1,166666667-1,818118686i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3n^{2}-7n+14=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -7 à b et 14 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 14}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 14.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-168}}{2\times 3}$$

Additionner 49 et -168.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-119}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -119.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{119}i}{2\times 3}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$n=\frac{7±\sqrt{119}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{7±\sqrt{119}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{7±\sqrt{119}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner 7 et i\sqrt{119}.

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{7±\sqrt{119}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{119} à 7.

$$n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6} n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-7n+14=0$$

Soustraire 14 des deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}-7n+14-14=-14$$

La soustraction de 14 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}-7n=-14$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=-\frac{14}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=-\frac{14}{3}$$

Divisez -\frac{7}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=-\frac{14}{3}+\frac{49}{36}$$

Additionner -\frac{14}{3} et \frac{49}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=-\frac{119}{36}$$

Factor n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{119}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{36}}$$

Simplifier.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{119}i}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{119}i}{6}$$

Ajouter \frac{7}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6} n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}$$