Résoudre 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Calculer n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3n^{2}+an+bn-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -4.

$$a=-9 b=5$$

Réécrire 3n^{2}-4n-15 en tant qu’\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Factorisez 3n du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Factoriser le facteur commun n-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-3=0 et 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -4 à b et -15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Additionner 16 et 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{4±14}{6} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Diviser 18 par 6.

$$n=3$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{4±14}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ajouter 15 aux deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

La soustraction de -15 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Soustraire -15 à 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Diviser 15 par 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Additionner 5 et \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifier.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$