Résoudre 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Calculer n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Soustraire 5 à -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 47 à b et -237 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Additionner 2209 et 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} lorsque ± est positif. Additionner -47 et \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{5053} à -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Ajouter 232 aux deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

La soustraction de -232 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Soustraire -232 à 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Diviser 237 par 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Divisez \frac{47}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{47}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{47}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{47}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Additionner 79 et \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Factor n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Simplifier.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Soustraire \frac{47}{6} des deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$