Résoudre 3n^2+2n-21=0

$$3 n ^ { 2 } + 2 n - 21 = 0$$

Calculer n

$$n=-3$$

$$n = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3n^{2}+an+bn-21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=2 ab=3\left(-21\right)=-63$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 2.

$$a=-7 b=9$$

Réécrire 3n^{2}+2n-21 en tant qu’\left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right).

$$\left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right)$$

Factorisez n du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$n\left(3n-7\right)+3\left(3n-7\right)$$

Factoriser le facteur commun 3n-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(3n-7\right)\left(n+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3n-7=0 et n+3=0.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 2 à b et -21 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 2.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -21.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 3}$$

Additionner 4 et 252.

$$n=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$n=\frac{-2±16}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{-2±16}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-2±16}{6} lorsque ± est positif. Additionner -2 et 16.

$$n=\frac{14}{6}$$

Réduire la fraction \frac{14}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=\frac{7}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-2±16}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à -2.

$$n=-\frac{18}{6}$$

Diviser -18 par 6.

$$n=-3$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Ajouter 21 aux deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}+2n-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

La soustraction de -21 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}+2n=-\left(-21\right)$$

Soustraire -21 à 0.

$$3n^{2}+2n=21$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3n^{2}+2n}{3}=\frac{21}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=\frac{21}{3}$$

Diviser 21 par 3.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=7$$

Divisez \frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Additionner 7 et \frac{1}{9}.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Factor n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplifier.

$$n+\frac{1}{3}=\frac{8}{3} n+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Soustraire \frac{1}{3} des deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$