Résoudre 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Calculer n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 8 des deux côtés.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3n^{2}+an+bn-8. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 10.

$$a=-2 b=12$$

Réécrire 3n^{2}+10n-8 en tant qu’\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Factorisez n du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Factoriser le facteur commun 3n-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3n-2=0 et n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3n^{2}+10n=8$$

Soustraire 8 des deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

La soustraction de 8 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 10 à b et -8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Additionner 100 et 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-10±14}{6} lorsque ± est positif. Additionner -10 et 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Réduire la fraction \frac{4}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-10±14}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Diviser -24 par 6.

$$n=-4$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Divisez \frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Additionner \frac{8}{3} et \frac{25}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifier.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Soustraire \frac{5}{3} des deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$