Résoudre 3b^2-22b-80

$$3 b ^ { 2 } - 22 b - 80$$

Factoriser

$$\left(b-10\right)\left(3b+8\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3b^{2}+pb+qb-80. Pour rechercher p et q, configurez un système à résoudre.

$$p+q=-22 pq=3\left(-80\right)=-240$$

Étant donné que pq est négatif, p et q ont des signes opposés. Étant donné que p+q est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -22.

$$p=-30 q=8$$

Réécrire 3b^{2}-22b-80 en tant qu’\left(3b^{2}-30b\right)+\left(8b-80\right).

$$\left(3b^{2}-30b\right)+\left(8b-80\right)$$

Factorisez 3b du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$3b\left(b-10\right)+8\left(b-10\right)$$

Factoriser le facteur commun b-10 en utilisant la distributivité.

$$\left(b-10\right)\left(3b+8\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$3b^{2}-22b-80=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$b=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\left(-80\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -22.

$$b=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\left(-80\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$b=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\left(-80\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -80.

$$b=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+960}}{2\times 3}$$

Additionner 484 et 960.

$$b=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1444}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1444.

$$b=\frac{-\left(-22\right)±38}{2\times 3}$$

L’inverse de -22 est 22.

$$b=\frac{22±38}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$b=\frac{22±38}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation b=\frac{22±38}{6} lorsque ± est positif. Additionner 22 et 38.

$$b=\frac{60}{6}$$

Diviser 60 par 6.

$$b=10$$

Résolvez maintenant l’équation b=\frac{22±38}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 38 à 22.

$$b=-\frac{16}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$b=-\frac{8}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 10 par x_{1} et -\frac{8}{3} par x_{2}.

$$3b^{2}-22b-80=3\left(b-10\right)\left(b-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$3b^{2}-22b-80=3\left(b-10\right)\left(b+\frac{8}{3}\right)$$

Additionner \frac{8}{3} et b en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$3b^{2}-22b-80=3\left(b-10\right)\times \frac{3b+8}{3}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 3 et 3.

$$3b^{2}-22b-80=\left(b-10\right)\left(3b+8\right)$$

Évaluer

$$\left(b-10\right)\left(3b+8\right)$$