Résoudre 3-xsqrt{6}-xsqrt{2}-x^2+x^2sqrt{6}+2x^2+2+4x+2=0

$$3 - x \sqrt { 6 } - x \sqrt { 2 } - x ^ { 2 } + x ^ { 2 } \sqrt { 6 } + 2 x ^ { 2 } + 2 + 4 x + 2 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10}\approx -0,019756066+1,424392972i$$

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}\approx -0,019756066-1,424392972i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Combiner -x^{2} et 2x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+2+4x+2=0$$

Additionner 2 et 2 pour obtenir 4.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4+4x=0$$

Additionner 3 et 4 pour obtenir 7.

$$7-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=0$$

Combiner tous les termes contenant x.

$$7+\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}+4\right)x+\left(1+\sqrt{6}\right)x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1+\sqrt{6} à a, -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^{2}-4\left(\sqrt{6}+1\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Calculer le carré de -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}-4\left(\sqrt{6}+1\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Multiplier -4 par 1+\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}+\left(-4\sqrt{6}-4\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Multiplier -4-4\sqrt{6} par 7.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}-28\sqrt{6}-28}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Additionner 24-8\sqrt{6}+4\sqrt{3}-8\sqrt{2} et -28-28\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}-8\sqrt{2}-36\sqrt{6}-4}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Extraire la racine carrée de -4-36\sqrt{6}+4\sqrt{3}-8\sqrt{2}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

Multiplier 2 par 1+\sqrt{6}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2} lorsque ± est positif. Additionner \sqrt{6}+\sqrt{2}-4 et 2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2}$$

Diviser \sqrt{6}+\sqrt{2}-4+2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} par 2+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} à \sqrt{6}+\sqrt{2}-4.

$$x=\frac{-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4}{2\sqrt{6}+2}$$

Diviser \sqrt{6}+\sqrt{2}-4-2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} par 2+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10} x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}$$

Étapes de l’élévation au carré

Combiner -x^{2} et 2x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+2+4x+2=0$$

Additionner 2 et 2 pour obtenir 4.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4+4x=0$$

Soustraire 4 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-4$$

Soustraire 3 des deux côtés.

$$-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-4-3$$

Soustraire 3 de -4 pour obtenir -7.

$$-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-7$$

Combiner tous les termes contenant x.

$$\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}+4\right)x+\left(1+\sqrt{6}\right)x^{2}=-7$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=-7$$

Divisez les deux côtés par 1+\sqrt{6}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x}{\sqrt{6}+1}=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

La division par 1+\sqrt{6} annule la multiplication par 1+\sqrt{6}.

$$x^{2}+\frac{4-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}x=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

Diviser -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4 par 1+\sqrt{6}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

Diviser -7 par 1+\sqrt{6}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}$$

Divisez -2+\sqrt{6}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}. Ajouter ensuite le carré de -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\left(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}+\left(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}$$

Calculer le carré de -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}$$

Additionner \frac{-7\sqrt{6}+7}{5} et \frac{66}{25}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}=\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}$$

Factor x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1=\frac{i\sqrt{-\left(15\sqrt{3}+101-20\sqrt{2}-61\sqrt{6}\right)}}{5} x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1=-\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}$$

Soustraire -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1 x=-\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$