Résoudre 3(frac{7+2sqrt{10}}{3})^2+4*(frac{7+2sqrt{10}}{3})*(frac{7-2sqrt{10}}{3})-3*(frac{7-2sqrt{10}}{3})^2

$$3 ( \frac { 7 + 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) ^ { 2 } + 4 \times ( \frac { 7 + 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) \times ( \frac { 7 - 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) - 3 \times ( \frac { 7 - 2 \sqrt { 10 } } { 3 } ) ^ { 2 }$$

Évaluer

$$\frac{56\sqrt{10}}{3}+4\approx 63,02918299$$

Résumé des étapes de la solution

Pour élever \frac{7+2\sqrt{10}}{3} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$3\times \frac{\left(7+2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}+4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Exprimer 3\times \frac{\left(7+2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{3\left(7+2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}+4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Annuler 3 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}+4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Exprimer 4\times \frac{7+2\sqrt{10}}{3} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}+\frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)}{3}\times \frac{7-2\sqrt{10}}{3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Multiplier \frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)}{3} par \frac{7-2\sqrt{10}}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.

$$\frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}+\frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de 3 et 3\times 3 est 3\times 3. Multiplier \frac{\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3} par \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3\times 3}+\frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Étant donné que \frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3\times 3} et \frac{4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \left(\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right)^{2}$$

Pour élever \frac{7-2\sqrt{10}}{3} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-3\times \frac{\left(7-2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}$$

Exprimer 3\times \frac{\left(7-2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{3\left(7-2\sqrt{10}\right)^{2}}{3^{2}}$$

Annuler 3 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{\left(-2\sqrt{10}+7\right)^{2}}{3}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-2\sqrt{10}+7\right)^{2}.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{4\left(\sqrt{10}\right)^{2}-28\sqrt{10}+49}{3}$$

Le carré de \sqrt{10} est 10.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{4\times 10-28\sqrt{10}+49}{3}$$

Multiplier 4 et 10 pour obtenir 40.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{40-28\sqrt{10}+49}{3}$$

Additionner 40 et 49 pour obtenir 89.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de 3\times 3 et 3 est 3\times 3. Multiplier \frac{89-28\sqrt{10}}{3} par \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{3\times 3}$$

Étant donné que \frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3} et \frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{3\times 3} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{3\left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)-3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{3\times 3}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2\sqrt{10}+7\right)^{2}.

$$\frac{3\left(4\left(\sqrt{10}\right)^{2}+28\sqrt{10}+49\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Le carré de \sqrt{10} est 10.

$$\frac{3\left(4\times 10+28\sqrt{10}+49\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Multiplier 4 et 10 pour obtenir 40.

$$\frac{3\left(40+28\sqrt{10}+49\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Additionner 40 et 49 pour obtenir 89.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{3\times 3}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Multiplier 3 et 3 pour obtenir 9.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{9}-\frac{89-28\sqrt{10}}{3}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de 9 et 3 est 9. Multiplier \frac{89-28\sqrt{10}}{3} par \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{9}-\frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{9}$$

Étant donné que \frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)}{9} et \frac{3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{9} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)-3\left(89-28\sqrt{10}\right)}{9}$$

Effectuez les multiplications dans 3\left(89+28\sqrt{10}\right)+4\left(7+2\sqrt{10}\right)\left(7-2\sqrt{10}\right)-3\left(89-28\sqrt{10}\right).

$$\frac{267+84\sqrt{10}+196-56\sqrt{10}+56\sqrt{10}-160-267+84\sqrt{10}}{9}$$

Effectuer les calculs dans 267+84\sqrt{10}+196-56\sqrt{10}+56\sqrt{10}-160-267+84\sqrt{10}.

$$\frac{36+168\sqrt{10}}{9}$$

Factoriser

$$\frac{4 {(14 \sqrt{10} + 3)}}{3} = 63,029182989809755$$