Résoudre 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Calculer z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que z^{2}+az+bz+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=1 b=2$$

Réécrire z^{2}+3z+2 en tant qu’\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Factorisez z du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Factoriser le facteur commun z+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez z+1=0 et z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 9 à b et 6 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Additionner 81 et -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-9±3}{6} lorsque ± est positif. Additionner -9 et 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Diviser -6 par 6.

$$z=-1$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-9±3}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Diviser -12 par 6.

$$z=-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$z=-1 z=-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

La soustraction de 6 de lui-même donne 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Diviser 9 par 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Diviser -6 par 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Divisez 3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Additionner -2 et \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifier.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Soustraire \frac{3}{2} des deux côtés de l’équation.

$$z=-1 z=-2$$