Résoudre 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Factoriser

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Étapes de la solution

Pour factoriser l’expression, résolvez l’équation où elle est égale à 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -40 et q divise le 3 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-2$$

Selon le théorème du produit nul, x-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 par x+2 pour obtenir 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Selon le théorème de la racine évidente, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -20 et q divise le 3 de coefficients dominants. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=\frac{5}{3}$$

Selon le théorème du produit nul, x-k est un facteur de polynôme pour chaque k racine. Diviser 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 par 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 pour obtenir x^{2}+4. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{2}+4=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 0 pour b et 4 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Le x^{2}+4 polynomiale n’est pas pris en compte, car il ne possède pas de racines Rational.

$$x^{2}+4$$

Réécrivez l'expression factorisée à l'aide des racines obtenues.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Évaluer

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$