Résoudre 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-372. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=-36 b=31$$

Réécrire 3x^{2}-5x-372 en tant qu’\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Factorisez 3x du premier et 31 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Factoriser le facteur commun x-12 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-12=0 et 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -5 à b et -372 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±67}{6} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Diviser 72 par 6.

$$x=12$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±67}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 67 à 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-62}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Ajouter 372 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

La soustraction de -372 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Soustraire -372 à 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Diviser 372 par 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Divisez -\frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Additionner 124 et \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Ajouter \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$