Résoudre 3x^2-5x+2=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Calculer x

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=-3 b=-2$$

Réécrire 3x^{2}-5x+2 en tant qu’\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Factorisez 3x du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -5 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±1}{6} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±1}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Réduire la fraction \frac{4}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divisez -\frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Additionner -\frac{2}{3} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Ajouter \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$