Résoudre 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -4 à b et -9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Additionner 16 et 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Diviser 4+2\sqrt{31} par 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{31} à 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Diviser 4-2\sqrt{31} par 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

La soustraction de -9 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Soustraire -9 à 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Diviser 9 par 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Additionner 3 et \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$