Résoudre 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-60. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -31.

$$a=-36 b=5$$

Réécrire 3x^{2}-31x-60 en tant qu’\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Factorisez 3x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Factoriser le facteur commun x-12 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-12=0 et 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -31 à b et -60 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Additionner 961 et 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

L’inverse de -31 est 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{31±41}{6} lorsque ± est positif. Additionner 31 et 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Diviser 72 par 6.

$$x=12$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{31±41}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 41 à 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Ajouter 60 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

La soustraction de -60 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Soustraire -60 à 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Diviser 60 par 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Divisez -\frac{31}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{31}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{31}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{31}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Additionner 20 et \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Ajouter \frac{31}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$