Résoudre 3x^2-13x-30=0

$$3 { x }^{ 2 } -13x-30 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-30. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-13 ab=3\left(-30\right)=-90$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -13.

$$a=-18 b=5$$

Réécrire 3x^{2}-13x-30 en tant qu’\left(3x^{2}-18x\right)+\left(5x-30\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(5x-30\right)$$

Factorisez 3x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(3x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-6=0 et 3x+5=0.

$$x=6 x=-\frac{5}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-13x-30=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -13 à b et -30 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -30.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+360}}{2\times 3}$$

Additionner 169 et 360.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{529}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 529.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±23}{2\times 3}$$

L’inverse de -13 est 13.

$$x=\frac{13±23}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{13±23}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{13±23}{6} lorsque ± est positif. Additionner 13 et 23.

$$x=\frac{36}{6}$$

Diviser 36 par 6.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{13±23}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 23 à 13.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=6 x=-\frac{5}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-13x-30=0$$

Ajouter 30 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

La soustraction de -30 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-13x=-\left(-30\right)$$

Soustraire -30 à 0.

$$3x^{2}-13x=30$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-13x}{3}=\frac{30}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{30}{3}$$

Diviser 30 par 3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=10$$

Divisez -\frac{13}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{13}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{13}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=10+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{13}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=10+\frac{169}{36}$$

Additionner 10 et \frac{169}{36}.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{529}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{529}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{36}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{23}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{23}{6}$$

Ajouter \frac{13}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=6 x=-\frac{5}{3}$$