Résoudre 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-8. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -10.

$$a=-12 b=2$$

Réécrire 3x^{2}-10x-8 en tant qu’\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Factorisez 3x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-4=0 et 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -10 à b et -8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Additionner 100 et 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

L’inverse de -10 est 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{10±14}{6} lorsque ± est positif. Additionner 10 et 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Diviser 24 par 6.

$$x=4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{10±14}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Ajouter 8 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

La soustraction de -8 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Soustraire -8 à 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Divisez -\frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Additionner \frac{8}{3} et \frac{25}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ajouter \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$