Résoudre 3x^2+5x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-2 = 0$$

Calculer x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=-1 b=6$$

Réécrire 3x^{2}+5x-2 en tant qu’\left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right)$$

Factorisez x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-1=0 et x+2=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 5 à b et -2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$x=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-5±7}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±7}{6} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±7}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à -5.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Diviser -12 par 6.

$$x=-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+5x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

La soustraction de -2 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-2\right)$$

Soustraire -2 à 0.

$$3x^{2}+5x=2$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{2}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$$

DiVisez \frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{6} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Additionner \frac{2}{3} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$$

Factoriser x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$$

Soustraire \frac{5}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$