Résoudre 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Calculer x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 138 des deux côtés.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-138. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=-18 b=23$$

Réécrire 3x^{2}+5x-138 en tant qu’\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Factorisez 3x du premier et 23 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-6=0 et 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+5x=138$$

Soustraire 138 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

La soustraction de 138 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 5 à b et -138 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±41}{6} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Diviser 36 par 6.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±41}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 41 à -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-46}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Diviser 138 par 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Divisez \frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Additionner 46 et \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Soustraire \frac{5}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$