Résoudre 3x^2+4x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+1=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=1 b=3$$

Réécrire 3x^{2}+4x+1 en tant qu’\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Factoriser x dans 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Factoriser le facteur commun 3x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+1=0 et x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 4 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Additionner 16 et -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±2}{6} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±2}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Diviser -6 par 6.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divisez \frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Additionner -\frac{1}{3} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Soustraire \frac{2}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$