Résoudre 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Calculer x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solution est la paire qui donne la somme 17.

$$a=2 b=15$$

Réécrire 3x^{2}+17x+10 en tant qu’\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Factorisez x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+2=0 et x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 17 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Additionner 289 et -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±13}{6} lorsque ± est positif. Additionner -17 et 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±13}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Diviser -30 par 6.

$$x=-5$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

La soustraction de 10 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Divisez \frac{17}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{17}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{17}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{17}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Additionner -\frac{10}{3} et \frac{289}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Soustraire \frac{17}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$