Résoudre 3x^2+10x-77=0

$$3 { x }^{ 2 } +10x-77=0$$

Calculer x

$$x=-7$$

$$x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-77. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=10 ab=3\left(-77\right)=-231$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -231.

$$-1,231 -3,77 -7,33 -11,21$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+231=230 -3+77=74 -7+33=26 -11+21=10$$

La solution est la paire qui donne la somme 10.

$$a=-11 b=21$$

Réécrire 3x^{2}+10x-77 en tant qu’\left(3x^{2}-11x\right)+\left(21x-77\right).

$$\left(3x^{2}-11x\right)+\left(21x-77\right)$$

Factorisez x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$x\left(3x-11\right)+7\left(3x-11\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-11 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-11\right)\left(x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-11=0 et x+7=0.

$$x=\frac{11}{3} x=-7$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+10x-77=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 10 à b et -77 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-77\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-77\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-77\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -77.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+924}}{2\times 3}$$

Additionner 100 et 924.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1024.

$$x=\frac{-10±32}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-10±32}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±32}{6} lorsque ± est positif. Additionner -10 et 32.

$$x=\frac{22}{6}$$

Réduire la fraction \frac{22}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{11}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±32}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 32 à -10.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Diviser -42 par 6.

$$x=-7$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{11}{3} x=-7$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+10x-77=0$$

Ajouter 77 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+10x-77-\left(-77\right)=-\left(-77\right)$$

La soustraction de -77 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+10x=-\left(-77\right)$$

Soustraire -77 à 0.

$$3x^{2}+10x=77$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{77}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{77}{3}$$

Divisez \frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{77}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{77}{3}+\frac{25}{9}$$

Additionner \frac{77}{3} et \frac{25}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{256}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{256}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{16}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{16}{3}$$

Soustraire \frac{5}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{11}{3} x=-7$$