Résoudre 3r^2-10r+3=0

$$3 { r }^{ 2 } -10r+3 = 0$$

Calculer r

$$r=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$r=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3r^{2}+ar+br+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-10 ab=3\times 3=9$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

La solution est la paire qui donne la somme -10.

$$a=-9 b=-1$$

Réécrire 3r^{2}-10r+3 en tant qu’\left(3r^{2}-9r\right)+\left(-r+3\right).

$$\left(3r^{2}-9r\right)+\left(-r+3\right)$$

Factorisez 3r du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$3r\left(r-3\right)-\left(r-3\right)$$

Factoriser le facteur commun r-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(r-3\right)\left(3r-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez r-3=0 et 3r-1=0.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3r^{2}-10r+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -10 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -10.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 3.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36}}{2\times 3}$$

Additionner 100 et -36.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 64.

$$r=\frac{-\left(-10\right)±8}{2\times 3}$$

L’inverse de -10 est 10.

$$r=\frac{10±8}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$r=\frac{10±8}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{10±8}{6} lorsque ± est positif. Additionner 10 et 8.

$$r=\frac{18}{6}$$

Diviser 18 par 6.

$$r=3$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{10±8}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 8 à 10.

$$r=\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$r=\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-10r+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$3r^{2}-10r+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$3r^{2}-10r=-3$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3r^{2}-10r}{3}=-\frac{3}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r=-\frac{3}{3}$$

Diviser -3 par 3.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r=-1$$

Divisez -\frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$$

Additionner -1 et \frac{25}{9}.

$$r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}=\frac{16}{9}$$

Factor r^{2}-\frac{10}{3}r+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplifier.

$$r-\frac{5}{3}=\frac{4}{3} r-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$$

Ajouter \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$r=3 r=\frac{1}{3}$$