Résoudre 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Soustraire 4x des deux côtés.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Combiner 2x et -4x pour obtenir -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Soustraire 5 des deux côtés.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Soustraire 5 de 1 pour obtenir -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -4 à a, -2 à b et -4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier -4 par -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier 16 par -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Additionner 4 et -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Extraire la racine carrée de -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier 2 par -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Diviser 2+2i\sqrt{15} par -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{15} à 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Diviser 2-2i\sqrt{15} par -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Soustraire 4x des deux côtés.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Combiner 2x et -4x pour obtenir -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Soustraire 1 de 5 pour obtenir 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

La division par -4 annule la multiplication par -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{-4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Diviser 4 par -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Divisez \frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Additionner -1 et \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Soustraire \frac{1}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$