Résoudre 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

Factoriser

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 27x^{2}+ax+bx-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -12.

$$a=-18 b=6$$

Réécrire 27x^{2}-12x-4 en tant qu’\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

Factorisez 9x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Calculer le carré de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Multiplier -4 par 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Multiplier -108 par -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

Additionner 144 et 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

Extraire la racine carrée de 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

Multiplier 2 par 27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±24}{54} lorsque ± est positif. Additionner 12 et 24.

$$x=\frac{36}{54}$$

Réduire la fraction \frac{36}{54} au maximum en extrayant et en annulant 18.

$$x=\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±24}{54} lorsque ± est négatif. Soustraire 24 à 12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{54} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{2}{3} par x_{1} et -\frac{2}{9} par x_{2}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Soustraire \frac{2}{3} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Additionner \frac{2}{9} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

Multiplier \frac{3x-2}{3} par \frac{9x+2}{9} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

Multiplier 3 par 9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 27 dans 27 et 27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Évaluer

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$