Résoudre 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 256x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

La solution est la paire qui donne la somme -32.

$$a=-16 b=-16$$

Réécrire 256x^{2}-32x+1 en tant qu’\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Factorisez 16x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 16x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 256 à a, -32 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Calculer le carré de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Multiplier -4 par 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Additionner 1024 et -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

L’inverse de -32 est 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Multiplier 2 par 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Réduire la fraction \frac{32}{512} au maximum en extrayant et en annulant 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Divisez les deux côtés par 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

La division par 256 annule la multiplication par 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Réduire la fraction \frac{-32}{256} au maximum en extrayant et en annulant 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

DiVisez -\frac{1}{8}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir -\frac{1}{16}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{16} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{16} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Additionner -\frac{1}{256} et \frac{1}{256} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Factoriser x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Ajouter \frac{1}{16} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=\frac{1}{16}$$