Résoudre 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Calculer y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 25y^{2}+ay+by-63. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

La solution est la paire qui donne la somme -54.

$$a=-75 b=21$$

Réécrire 25y^{2}-54y-63 en tant qu’\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Factorisez 25y du premier et 21 dans le deuxième groupe.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Factoriser le facteur commun y-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-3=0 et 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 25 à a, -54 à b et -63 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Additionner 2916 et 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

L’inverse de -54 est 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{54±96}{50} lorsque ± est positif. Additionner 54 et 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Diviser 150 par 50.

$$y=3$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{54±96}{50} lorsque ± est négatif. Soustraire 96 à 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Réduire la fraction \frac{-42}{50} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Ajouter 63 aux deux côtés de l’équation.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

La soustraction de -63 de lui-même donne 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Soustraire -63 à 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Divisez les deux côtés par 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

La division par 25 annule la multiplication par 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Divisez -\frac{54}{25}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{27}{25}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{27}{25} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{27}{25} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Additionner \frac{63}{25} et \frac{729}{625} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Factor y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Ajouter \frac{27}{25} aux deux côtés de l’équation.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$