Résoudre 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 25 à a, -90 à b et 82 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Additionner 8100 et -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

L’inverse de -90 est 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{90±10i}{50} lorsque ± est positif. Additionner 90 et 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Diviser 90+10i par 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{90±10i}{50} lorsque ± est négatif. Soustraire 10i à 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Diviser 90-10i par 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Soustraire 82 des deux côtés de l’équation.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

La soustraction de 82 de lui-même donne 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Divisez les deux côtés par 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

La division par 25 annule la multiplication par 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Réduire la fraction \frac{-90}{25} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Divisez -\frac{18}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Additionner -\frac{82}{25} et \frac{81}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Ajouter \frac{9}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$