Résoudre 25x^2-80x+64

$$25 x ^ { 2 } - 80 x + 64$$

Factoriser

$$\left(5x-8\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 25x^{2}+ax+bx+64. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-80 ab=25\times 64=1600$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 1600.

$$-1,-1600 -2,-800 -4,-400 -5,-320 -8,-200 -10,-160 -16,-100 -20,-80 -25,-64 -32,-50 -40,-40$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-1600=-1601 -2-800=-802 -4-400=-404 -5-320=-325 -8-200=-208 -10-160=-170 -16-100=-116 -20-80=-100 -25-64=-89 -32-50=-82 -40-40=-80$$

La solution est la paire qui donne la somme -80.

$$a=-40 b=-40$$

Réécrire 25x^{2}-80x+64 en tant qu’\left(25x^{2}-40x\right)+\left(-40x+64\right).

$$\left(25x^{2}-40x\right)+\left(-40x+64\right)$$

Factorisez 5x du premier et -8 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(5x-8\right)-8\left(5x-8\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(5x-8\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(25x^{2}-80x+64)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(25,-80,64)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 25x^{2}.

$$\sqrt{25x^{2}}=5x$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(5x-8\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}-80x+64=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 25\times 64}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 25\times 64}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-100\times 64}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par 64.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6400}}{2\times 25}$$

Additionner 6400 et -6400.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±0}{2\times 25}$$

L’inverse de -80 est 80.

$$x=\frac{80±0}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$x=\frac{80±0}{50}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{8}{5} par x_{1} et \frac{8}{5} par x_{2}.

$$25x^{2}-80x+64=25\left(x-\frac{8}{5}\right)\left(x-\frac{8}{5}\right)$$

Soustraire \frac{8}{5} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{5x-8}{5}\left(x-\frac{8}{5}\right)$$

Soustraire \frac{8}{5} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{5x-8}{5}\times \frac{5x-8}{5}$$

Multiplier \frac{5x-8}{5} par \frac{5x-8}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)}{5\times 5}$$

Multiplier 5 par 5.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)}{25}$$

Annuler 25, le plus grand facteur commun dans 25 et 25.

$$25x^{2}-80x+64=\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)$$

Évaluer

$$\left(5x-8\right)^{2}$$