Résoudre 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 25x^{2}+ax+bx+16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

La solution est la paire qui donne la somme -40.

$$a=-20 b=-20$$

Réécrire 25x^{2}-40x+16 en tant qu’\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Factorisez 5x du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 25 à a, -40 à b et 16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Additionner 1600 et -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

L’inverse de -40 est 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Réduire la fraction \frac{40}{50} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Divisez les deux côtés par 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

La division par 25 annule la multiplication par 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{25} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Divisez -\frac{8}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{4}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{4}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Additionner -\frac{16}{25} et \frac{16}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Factor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Ajouter \frac{4}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=\frac{4}{5}$$